Revista Sinapsis. ISSN 1390 – 9770
Periodo. Enero – Junio 2025
Vol. 26, Nro. 1, Publicado 2025-06-30
https://www.itsup.edu.ec/sinapsis
Aplicación de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden para
optimizar la mezcla de bebidas gaseosas en la industria.
An Application of First Order Linear Differential Equations in Stable Consistent Mixture
with a Focus on the Soft Drink Industry
Jefferson Agustín Macias Bravo1
Maribel Pérez Pirela. PhD2
Ambrosio Tineo Moya3. PhD3
1Estudiante de la Universidad Técnica de Manabí, Facultad de Ciencias Básicas,
Portoviejo – Ecuador, Correo: jmacias5287@utm.edu.ec, Código Orcid:
https://orcid.org/0009-0003-5616-408X
2Docente de la Universidad Técnica de Manabí, Facultad de Ciencias Básicas, Portoviejo
– Ecuador, Correo: maribel.perez@utm.edu.ec, Código Orcid: https://orcid.org/0000-
0002-9687-5471
3Docente de la Universidad Técnica de Manabí, Facultad de Ciencias Básicas, Portoviejo
– Ecuador, Correo: ambrosio.tineo@utm.edu.ec, Código Orcid: https://orcid.org/0000-
0002-2060-8860
Contacto: jmacias5287@utm.edu.ec
Recibido: 26-01-2025 Aprobado: 20-04-2025
Resumen
Este estudio aborda la aplicación de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden para
modelar el proceso de mezcla en la producción de bebidas gaseosas. A través del análisis
matemático, se examina cómo la variación de los flujos de entrada y salida afecta la concentración
de ingredientes en el tiempo. Los resultados obtenidos permiten comprender de manera más
detallada las dinámicas del proceso de mezcla, destacando su utilidad en el control de calidad de
la producción. Aunque el modelo es matemáticamente adecuado, se reconoce la importancia de
ajustarlo con datos experimentales para mejorar su precisión y reducir errores en la simulación.
Este enfoque proporciona una base sólida para una mejor comprensión del comportamiento de
los ingredientes durante el proceso de producción.
Palabras clave: procesos de mezcla, ecuaciones diferenciales, bebidas gaseosas, simulación
matemática
Abstract
This paper explores the application of first-order linear differential equations to model the mixing
process in carbonated beverage production. Through mathematical analysis, the study examines
how variations in input and output flows affect the concentration of ingredients over time. The
results offer a clearer understanding of the dynamics involved, proving useful for quality control
during production. While the model demonstrates mathematical accuracy, the importance of
adjusting it with experimental data is recognized to enhance precision and reduce simulation
errors. This approach provides a solid foundation for better understanding ingredient behavior in
the production process.
Keywords: mixing processes, differential equations, soft drinks, mathematical simulation
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Introducción
La industria agroalimentaria y, en particular, la producción de bebidas gaseosas enfrenta desafíos
significativos en la optimización de procesos de mezcla para garantizar la homogeneidad y calidad
del producto final (Oltra, Hargaden, Coughlan y García. 2020). En este contexto, las ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden se presentan como una herramienta poderosa para modelar
y analizar estos procesos (Zill y Wright, 2017). La aplicación de estos modelos matemáticos
permite una mejor comprensión de las dinámicas de mezcla, facilitando la identificación de
parámetros críticos y la predicción del comportamiento del sistema bajo diferentes condiciones
operativas.
La producción de bebidas gaseosas requiere una mezcla precisa y consistente de diversos
ingredientes para asegurar que cada lote mantenga los estándares de calidad y sabor establecidos.
La implementación de modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden puede mejorar significativamente el control y la optimización de estos procesos
(Moore, 2017).
Se utilizó MATLAB Online (basic) porque es una opción gratuita que proporciona las
herramientas esenciales para modelar y simular ecuaciones diferenciales, sin necesidad de
instalación local, lo que facilita su acceso desde cualquier dispositivo con conexión a internet
(MathWorks, 2024). Además, las 20 horas de uso mensual y los 5 GB de almacenamiento que
ofrece son suficientes para llevar a cabo las simulaciones necesarias. A través de la simulación y
análisis matemático, es posible identificar oportunidades para mejorar la eficiencia del proceso,
reducir costos y minimizar variaciones en la calidad del producto final (Granato y De Araújo
Calado, 2010). Este enfoque no solo aporta beneficios económicos y operativos, sino que también
contribuye al desarrollo de una industria más sostenible y competitiva.
El objetivo general de esta investigación fue aplicar modelos matemáticos basados en ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden para el análisis y la optimización de procesos de mezcla
consistente estable en la industria agro alimentaria, con énfasis en la industria de bebidas gaseosas.
Para alcanzar este objetivo, se identificaron los procesos clave de mezcla en la industria
agroalimentaria, especialmente en la producción de bebidas gaseosas donde, la homogeneidad y
la calidad del producto final son críticos. Además, se formulan modelos de ecuaciones
diferenciales lineales de primer orden que modelen el comportamiento de las mezclas,
considerando factores como tasas de entrada y salida de componentes y posibles reacciones
químicas. Posteriormente, se simuló los modelos matemáticos desarrollados, utilizando
MATLAB Online (basic), para prever el comportamiento de las mezclas bajo diferentes
condiciones operativas, validando los resultados mediante datos experimentales y ajustando los
modelos para mejorar su precisión y aplicabilidad (Yang, 2024).
Materiales y métodos
Modelado Matemático de Procesos de Mezcla
El modelado de los procesos de mezcla en la industria de bebidas gaseosas se fundamenta en la
utilización de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. La ecuación diferencial básica
puede formularse como:
(1)
Donde:
mentrada=ρentrada×Qentrada
msalida=ρsalida×Qsalida
y la densidad de salida se define como:
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ρsalida= A(t)
V0+
Qentrada-Qsalida
t (2)
siendo A(t) la cantidad del componente en el tiempo t, ρentrada y ρsalida las densidades de entrada
y salida, Qentrada y Qsalida los flujos volumétricos de entrada y salida, y V0 el volumen inicial
(Smith, 2011).
Simulación y Optimización
Para evaluar el modelo, se consideran los siguientes parámetros iniciales:
ρentrada= 1,0 kg/m3
Qentrada= 2,0 m3/min
Qsalida = 1,5 m3/min
Volumen inicial V0 = 100 m3
Cantidad inicial A(0) = 0 kg
Usando MATLAB Online (Basic), la ecuación diferencial se resuelve numéricamente para
obtener el comportamiento de la cantidad A(t) a lo largo del tiempo. El código MATLAB
correspondiente podría considerarse de la siguiente manera:
Esta simulación se muestra cómo la cantidad del componente en el sistema evoluciona hasta
alcanzar un estado estacionario. En este caso, la cantidad depende de la diferencia en los flujos
volumétricos de entrada y salida, y como varía la densidad en función del tiempo.
Resultados
El análisis muestra que, aunque la solución numérica tiende a acercarse a la solución exacta con
el tiempo, la diferencia entre ambas se acrecienta progresivamente. Tanto el error absoluto como
el error relativo crecen, lo que sugiere que el método numérico puede estar acumulando errores a
medida que avanza el tiempo.
% Ecuación diferencial y parámetros
function dA = simpmezclas(t, A)
% Flujo volumétrico
qe = 2.0; % flujo volumétrico de entrada
qs = 1.5; % flujo volumétrico de salida
% Volumen inicial
v0 = 100; % volumen inicial
% Densidades
pe = 1.0; % densidad de entrada
ps = A / (v0 + (qe - qs) * t); % densidad de salida
% Flujos másicos
me = pe * qe; % flujo másico de entrada
ms = ps * qs; % flujo másico de salida
% Razón de cambio de la mezcla
dA = me - ms;
end
% Modelo para simpmezclas(t, A)
close all; format compact;
% Rango de tiempo
tspan = 0:1:10; % rango de tiempo
% Condición inicial
A0 = 0; % cantidad inicial del componente
% Solución numérica con ODE45
[t, A] = ode45(@simpmezclas, tspan, A0);
% Tabla de resultados
modelo = table(t, A);
% Gráficas
figure; plot(t, A, '-o'); title('Modelo de balance de mezcla');
xlabel('Tiempo'); ylabel('Cantidad del componente'); hold
on;
% Solución exacta
f_exacta = (t + 200).^3 / 40000 - t - 200; plot(t, f_exacta, '-
r');
legend('Solución numérica', 'Solución analítica'); hold off;
% Cambio neto: derivada exacta de F
df_exacta = (3 * (t + 200).^2) / 40000 - 1;
% Gráfica de la rapidez de cambio
figure; plot(t, df_exacta, '-b'); title('Gráfica de dF/dt');
xlabel('Tiempo'); ylabel('Rapidez neta');
% Cálculo de errores
ea = abs(f_exacta - A); % error absoluto
er = abs(ea ./ A * 100); % error relativo
% Tabla de solución y errores
solucion = table(t, A, f_exacta, ea, er,
df_exacta,'VariableNames', {'Tiempo', 'Sol. Numerica', 'Sol.
Exacta', 'E. Absoluto', 'E. Relativo', 'Cambio Neto'})
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Figura 1: Solución Numérica y Solución Analítica
A pesar de que el cambio neto es constante, lo que significa que el modelo está capturando el flujo
volumétrico correctamente, la discrepancia paulatina en los resultados de la Figura 1 señala la
necesidad de ajustar el método numérico a fin de mejorar la precisión. El modelo numérico parece
tener un desempeño (admisible, razonable o conveniente) al principio, pero los errores aumentan
con el tiempo. Esto podría sugerir que el método puede requerir ajustes para mejorar su precisión
a lo largo del tiempo.
En el contexto de la industria de bebidas gaseosas, al comparar el análisis de los resultados
numéricos con las soluciones exactas, se observa que, a pesar de que la solución numérica se
aproxima a la solución exacta con el tiempo, la diferencia entre ambas aumenta progresivamente.
Este incremento en la discrepancia puede estar relacionado con la acumulación de errores en el
método numérico. El error absoluto y el error relativo aumentan con el tiempo, indicando que el
método podría no capturar con precisión las dinámicas del proceso de mezcla de ingredientes, lo
cual es crítico para mantener la calidad y consistencia.
Figura 4: Modelo de balance de mezcla y razón de cambio
El cambio neto constante en los resultados sugiere que el modelo está representando
adecuadamente el flujo volumétrico constante en el sistema de mezcla. No obstante, las
diferencias crecientes entre las soluciones numérica y exacta indican que el modelo podría estar
introduciendo errores acumulativos que afectan la precisión de la predicción.
Para la industria de bebidas gaseosas, donde la mezcla precisa de ingredientes es esencial para
garantizar la homogeneidad y calidad del producto final, es crucial que el modelo numérico sea
lo más preciso posible. La creciente discrepancia sugiere que deben considerarse ajustes en el
método numérico para mejorar su precisión y capacidad de ajuste a las condiciones reales del
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proceso (Myers, Montgomery, y Anderson-Cook, 2016). Se recomienda revisar y, posiblemente,
refinar el método de resolución numérica, así como realizar validaciones adicionales con datos
experimentales a fin de asegurar que el modelo pueda predecir con mayor exactitud el
comportamiento del proceso de mezcla en la industria de bebidas gaseosas. Esto permitir a
optimizar la calidad del producto final y mejorar la eficiencia del proceso de producción.
Discusión
El análisis de los resultados obtenidos en la modelación del proceso de mezcla en la industria de
bebidas gaseosas arroja varios puntos interesantes que vale la pena discutir. Aunque el uso de
ecuaciones diferenciales lineales de primer orden parece ser una herramienta útil para representar
el comportamiento de los ingredientes en el proceso de mezcla, la creciente discrepancia
observada entre las soluciones numéricas y exactas deja en evidencia algunas limitaciones
importantes, especialmente cuando se utiliza un método numérico.
Uno de los primeros factores a tener en cuenta es la acumulación de errores que se produce en los
métodos numéricos. Tal como señala Zhitnikov (2016), estos métodos pueden introducir
pequeños errores en cada paso de la simulación, que eventualmente se acumulan a lo largo del
tiempo, especialmente en sistemas donde los cambios son graduales pero constantes. En este caso,
aunque el modelo captura adecuadamente la tendencia general del proceso de mezcla, los errores
numéricos se van sumando hasta generar diferencias notables entre los resultados exactos y
numéricos. Esto podría convertirse en un problema crítico en la producción real, ya que incluso
pequeñas desviaciones pueden afectar la consistencia del producto final.
Por otro lado, el análisis también pone de manifiesto lo sensible que es el proceso de mezcla a
pequeñas variaciones en los flujos de entrada y salida. Incluso ajustes menores en estos flujos
pueden aumentar la diferencia entre los resultados analíticos y numéricos, lo cual sugiere que se
requiere un control riguroso sobre los parámetros operativos para asegurar la calidad del producto.
Aunque herramientas como MATLAB son extremadamente útiles para hacer simulaciones
rápidas y eficientes, siempre es necesario tener datos reales para ajustar los modelos y asegurarse
de que reflejan con precisión el comportamiento del sistema. Esto es algo que ya se ha
mencionado en trabajos previos como el de Kiusalaas (2013), que subraya la importancia de
comparar las simulaciones con la realidad para evitar que los modelos se desvíen de los resultados
esperados.
En términos prácticos, la implementación de estos modelos matemáticos en un entorno industrial
presenta ciertos retos adicionales. Por ejemplo, la variabilidad en las propiedades físicas de los
ingredientes o la presencia de múltiples fases en el proceso de mezcla puede introducir una
complejidad adicional que dificulte la precisión del modelo. Mavani et al (2022) discuten cómo
estos factores, si no se tienen en cuenta, pueden llevar a una mayor no linealidad en el sistema,
haciendo que los métodos numéricos sean aún más propensos a errores.
Aunque el uso de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden ha demostrado ser una
herramienta útil para modelar los procesos de mezcla en la industria de bebidas gaseosas, los
resultados muestran que todavía hay margen para mejorar. Es fundamental seguir trabajando en
métodos numéricos más robustos y asegurarse de validar constantemente estos modelos con datos
experimentales. Esto no solo mejorará la precisión de las predicciones, sino que también permitirá
optimizar los procesos de producción, reduciendo costos y mejorando la calidad del producto, tal
como lo señalan Chapra y Canale (2014).
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Conclusiones
El estudio realizado demuestra que el uso de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden es
una estrategia valiosa para mejorar los procesos de mezcla en la industria de bebidas gaseosas. Al
aplicar estos modelos, no solo se logra una mejor comprensión de las dinámicas involucradas,
sino que también se abre la posibilidad de optimizar la producción, garantizando la consistencia
y calidad del producto final.
Sin embargo, los resultados revelan la importancia de afinar los métodos numéricos empleados
ya que, incluso, pequeños errores pueden tener un impacto significativo en las predicciones, lo
cual subraya la necesidad de un enfoque riguroso y adaptable en el modelado matemático,
respaldado por datos experimentales, para asegurar que las mejoras propuestas sean efectivas y
se traduzcan en beneficios reales en la práctica industrial. En definitiva, la integración de modelos
matemáticos en la industria alimentaria no solo es viable sino necesaria para afrontar los retos de
un mercado cada vez más competitivo y exigente.
Bibliografía
1. Chapra , S., & Canale, R. (2014). Numerical Methods for Engineers (Septima ed.).
McGraw Hill. https://doi.org/978-0073397924
2. Granato, D., & De Araújo Calado, V. (2010). Experimental design and application of
response surface methodology for process mode- ling and optimization: A review. Food
Research International, 55, 441-450. https://doi.org/10.1016/j.foodres.2010.12.008
3. Kiusalaas, J. (2013). Numerical Methods in Engineering with Python 3 (Tercera ed.).
Cambridge University Press.
https://doi.org/https://doi.org/10.1017/CBO9781139523899
4. MathWorks. (2024). MATLAB Online. The MathWorks, Inc.:
https://www.mathworks.com/products/matlab-online/matlab-online-versions.html
5. Mavani, N., Ali, J., Othman, S., Hussain, M., Hashim, H., & Rahman, N. (2022).
Application of Artificial Intelligence in Food Industry—a Guideline. Food Engineering
Reviews, 14, 134–175. https://doi.org/10.1007/s12393-021-09290-z
6. Moore, H. (2017). MATLAB for Engineers. (Quinta ed.). Pearson.
7. Myers, R. H., Montgomery, D. C., & Anderson-Cook, C. M. (2016) (2016). Response
Surface Methodology: Process and Product Optimization Using Designed Experiments
(Cuarta ed.). John Wiley Sons. https://doi.org/978-1-118-91601-8
8. Oltra, M., Hargaden, V., Coughlan, P., & García, B. (2020). Innovation in the Agri‐Food
sector: Exploiting opportunities for Industry 4.0. Creativity and Innovation Management,
30(11), 198-210. https://doi.org/10.1111/caim.12418
9. Smith, H. (2011). An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to
the Life Sciences. Springer New York, NY. https://doi.org/https://doi.org/10.1007/978-
1-4419-7646-8
10. Yang, X. S. (2024). .Engineering Simulation and Its Applications: Algorithms and
Numerical Methods. Elsevier. https://n9.cl/tcvbq
11. Zhitnikov, V., Sherykhalina, N., & Muksimova, R. (2016). Peculiarities of error
accumulation in solving problems for simple equations of mathematical physics by finite
difference methods. Numerical Analysis and Applications, 9, 107-117.
https://doi.org/10.1134/S1995423916020026
12. Zill, D., & Wright, W. (2017). Differential Equations with Boundary-Value Problems
(Septima ed.). Cengage Learning. https://acortar.link/86qN2y
